Question

17．已知f（x）=$\frac{x}{e^x}$，定义f₁（x）=f'（x），f₂（x）=f₁′（x），f₃（x）=f₂′（x），…f_n+1（x）=f_n′（x），经计算f₁（x）=$\frac{1-x}{e^x}，{f_2}（x）=\frac{x-2}{e^x}，{f_3}（x）=\frac{3-x}{e^x}$，…，则f_n（x）=$\frac{（-1）^{n}（x-n）}{{e}^{x}}$．

Answer 1

分析 由已知中定义f₁（x）=f′（x），f₂（x）=[f₁（x）]′，…，f_n+1（x）=[f_n（x）]′，n∈N^*．…，结合f₁（x）=$\frac{1-x}{e^x}，{f_2}（x）=\frac{x-2}{e^x}，{f_3}（x）=\frac{3-x}{e^x}$，…，分析出f_n（x）解析式随n变化的规律，可得答案

解答 解：∵f₁（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$=$\frac{（-1）^{1}（x-1）}{{e}^{x}}$，
f₂（x）=$\frac{x-2}{{e}^{x}}$=$\frac{（-1）^{2}（x-2）}{{e}^{x}}$，
f₃（x）=$\frac{3-x}{{e}^{x}}$=$\frac{（-1）^{3}（x-3）}{{e}^{x}}$，
…，
由此归纳可得：f_n（x）=$\frac{（-1）^{n}（x-n）}{{e}^{x}}$，
故答案为：$\frac{（-1）^{n}（x-n）}{{e}^{x}}$

点评 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．