Question

【题目】设z1是虚数，z2＝z1是实数，且﹣1≤z2≤1．

（1）求|z1|的值以及z1的实部的取值范围；

（2）若ω，求证ω为纯虚数；

（3）求z2﹣ω2的最小值．

Answer 1

【答案】（1）|z1|＝1，取值范围为[，]．（2）见解析（3）1

【解析】

（1）设z1代数形式代入z2，根据z2是实数，求得|z1|，再根据﹣1≤z2≤1，求得z1的实部的取值范围；

（2）根据复数除法法则化简ω，再根据纯虚数概念判断证明；

（3）先化简z2﹣ω2，再利用基本不等式求最小值．

（1）设z1＝a+bi，（a，b∈R，且b≠0），

则z2＝z1（a+bi）（a+bi）（a+bi）（a）+（b）i，

因为z2是实数，

所以b0，即b（）＝0，

因为b≠0，所以a2+b2＝1，

即|z1|＝1，且z2＝2a，

由﹣1≤z2≤1，得﹣1≤2a≤1，解得a，

即z1的实部的取值范围为[，]．

（2）证明：∵a2+b2＝1，

ω，

因为a，b≠0，

所以ω为纯虚数．

（3）z2﹣ω2＝（a）+（b）i﹣（）2，

＝2a+（b﹣b）i

＝2a

＝2a

＝1

＝1

＝1

＝1+2（a+1）﹣4

＝2（a+1）3，a+1∈[，]，

当2（a+1）时，即a＝0时，z2﹣ω2取最小值1．