Question

16．已知三棱锥S-ABC的各顶点都在一个球面上，△ABC所在截面圆的圆心O在AB上，SO⊥平面$ABC，AC=\sqrt{3}，BC=1$，若三棱锥的体积是$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，则球体的表面积是（　　）

• A． $\frac{25}{4}π$
• B． $\frac{25}{12}π$
• C． $\frac{125}{48}π$
• D． 25π

Answer 1

分析 利用条件，求出SO，利用勾股定理，求出R，即可求出球体的表面积．

解答 解：∵△ABC所在截面圆的圆心O在AB上，SO⊥平面$ABC，AC=\sqrt{3}，BC=1$，三棱锥的体积是$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{3}×1×SO$=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴SO=2，
设球体的半径=R，则R=$\sqrt{1+（2-R）^{2}}$，∴R=$\frac{5}{4}$，
∴球体的表面积是$4π×\frac{25}{16}$=$\frac{25}{4}π$，
故选：A．

点评 本题考查球体的表面积，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．