Question

3．若函数f（x）=x²+ax+2b在区间（0，1）和（1，2）内各有一个零点，则$\frac{a+b-3}{a-1}$的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{1}{4}$，1）
• B． （$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{2}$）
• C． （$\frac{1}{4}$，$\frac{5}{4}$）
• D． （$\frac{5}{4}$，2）

Answer 1

分析 由题意利用二次函数的性值可得$\left\{\begin{array}{l}{b＞0}\\{a+2b+1＜0}\\{a+b+2＞0}\end{array}\right.$，它所表示的区域为△ABC内的部分，而$\frac{a+b-3}{a-1}$=1+$\frac{b-2}{a-1}$，表示可行域内的点M（a，b）与点N（1，2）连线的斜率加上1，分别求得NA 的斜率、NC的斜率，可得$\frac{a+b-3}{a-1}$的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）=x²+ax+2b在区间（0，1）和（1，2）内各有一个零点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=2b＞0}\\{f（1）=1+a+2b＜0}\\{f（2）=4+2a+2b＞0}\end{array}\right.$，求得$\left\{\begin{array}{l}{b＞0}\\{a+2b+1＜0}\\{a+b+2＞0}\end{array}\right.$，
它所表示的区域为△ABC内的部分，
其中，A（-1，0），B（-2，0）、C（-3，1）．
而$\frac{a+b-3}{a-1}$=$\frac{a-1+b-2}{a-1}$=1+$\frac{b-2}{a-1}$，
表示可行域内的点M（a，b）与点N（1，2）连线的斜率加上1，
由于NA 的斜率为$\frac{2-0}{1+1}$=1，NC的斜率为$\frac{2-1}{1+3}$=$\frac{1}{4}$，
故$\frac{a+b-3}{a-1}$的取值范围是（$\frac{5}{4}$，2），
故选：D．

点评 本题主要考查二次函数的性质，简单的线性规划问题，直线的斜率公式的应用，属于中档题．