Question

已知函数f（x）=alnx-x²，若对区间（0，1）内任取两个不等的实数p，q，不等式

f(p+1)-f(q+1)

p-q

＞1恒成立，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：依题意知，f′（x+1）=

a

x+1

-2（x+1）＞1（0＜x＜1）恒成立，即a＞2（x+1）²+（x+1）（0＜x＜1）恒成立，设t=x+1，1＜t＜2，则g（t）=2t²+t=2(t+

1

4

)2-

1

8

；
易知y=g（t）在（1，2）上是单调增函数，从而可求其最大值，继而可得a的取值范围．

解答： 解：∵?p，q∈（0，1），不等式

f(p+1)-f(q+1)

p-q

=

f(p+1)-f(q+1)

(p+1)-(q+1)

＞1恒成立，
f（x+1）=aln（x+1）-（x+1）²，
∴f′（x+1）=

a

x+1

-2（x+1）＞1（0＜x＜1）恒成立，
即a＞2（x+1）²+（x+1）（0＜x＜1）恒成立，
设t=x+1，1＜t＜2，
则g（t）=2t²+t=2(t+

1

4

)2-

1

8

；
∵y=g（t）的对称轴为t=-

1

4

，
∴y=g（t）在（1，2）上是单调增函数，故有g（t）＜g（2）=8+2=10，
∴a≥10，即实数a的取值范围是[10，+∞）．
故答案为：[10，+∞）．

点评：本题考查函数的性质及导数的应用，考查等价转化思想．构造函数思想与恒成立问题，考查综合分析与解决问题的能力，属于难题．