Question

12．设点P是△ABC内一点（不包括边界），且$\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}，m，n∈R$，则（m-2）²+（n-2）²的取值范围是（$\frac{9}{2}$，8）．

Answer 1

分析 据点P是△ABC内一点（不包括边界），向量加法的平行四边形法则得m，n的范围，据两点距离公式的几何意义，用线性规划求出最值．

解答 解：∵点P是△ABC内一点（不包括边界），且$\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{n＞0}\\{m+n＜1}\end{array}\right.$，
做出不等式组表示的平面区域如图，设N（2，2），
则N到平面区域的最短距离为NM=$\frac{|2+2-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3}{\sqrt{2}}$，则N到平面区域的最长距离为ON=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
∴（m-2）²+（n-2）²的最小值为$\frac{9}{2}$，最大值为8．
故答案为（$\frac{9}{2}$，8）．

点评 本题考查了平面向量在几何中的应用，使用线性规划寻找最值是关键．