Question

2．已知数列{a_n}、{b_n}中，对任何正整数n都有：a₁b_n+a₂b_n-1+a₃b_n-2…+a_n-1b₂+a_nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2．
（1）若数列{a_n}是首项和公差都是1的等差数列，求b₁，b₂，并证明数列{b_n}是等比数列；
（2）若数列{b_n}是等比数列，数列{a_n}是否是等差数列，若是请求出通项公式，若不是请说明理由；
（3）若数列{a_n}是等差数列，数列{b_n}是等比数列，求证：$\frac{1}{{a}_{1}{b}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{b}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{b}_{n}}$＜$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系式得出b_n+2b_n-1+3b_n-2+…+（n-1）b₂+nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2，b_n-1+2b_n-2+3b_n-3+…+（n-2）b₂+（n-1）b₁=2ⁿ-n-1，（n≥2），
相减得出b_n+b_n-1+…+b₂+b₁=2ⁿ-1，利用前n项的和S_n求解b_n=2^n-1，证明即可．
（2）bq^n-1a₁+bq^n-2a₂+bq^n-3a₃+…+bqa_n-1+ba_n=2ⁿ⁺¹-n-2，又bq^n-2a₁+bq^n-3a₂+bq^n-4a₃+…+ba_n-1=2ⁿ-n-1（n≥2），
a_n=$\frac{2-q}{b}$×2ⁿ$+\frac{q-1}{b}$×n$+\frac{q-2}{b}$，讨论求解即可．
（3）求解$\frac{1}{{a}_{1}{b}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{b}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{b}_{n}}$=$\frac{1}{1×1}$$+\frac{1}{2×2}$$+\frac{1}{3×{2}^{2}}$$+\frac{1}{4×{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{n×{2}^{n-1}}$＜$\frac{1}{1×1}$$+\frac{1}{2×2}$$+\frac{1}{2×{2}^{2}}$+$\frac{1}{2×{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{2×{2}^{n-1}}$求解为和的形式，放缩即可．

解答 解：（1）b₁=1，b₂=2，
依题意数列{a_n}的通项公式是a_n=n，
故等式即为b_n+2b_n-1+3b_n-2+…+（n-1）b₂+nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2，
b_n-1+2b_n-2+3b_n-3+…+（n-2）b₂+（n-1）b₁=2ⁿ-n-1，（n≥2），
两式相减可得b_n+b_n-1+…+b₂+b₁=2ⁿ-1，
得b_n=2^n-1，数列{b_n}是首项为1，公比为2的等比数列．  
（2）设等比数列{b_n}的首项为b，公比为q，则b_n=bq^n-1，
从而有：bq^n-1a₁+bq^n-2a₂+bq^n-3a₃+…+bqa_n-1+ba_n=2ⁿ⁺¹-n-2，
又bq^n-2a₁+bq^n-3a₂+bq^n-4a₃+…+ba_n-1=2ⁿ-n-1（n≥2），
故（2ⁿ-n-1）q+ba_n=2ⁿ⁺¹-n-2，
a_n=$\frac{2-q}{b}$×2ⁿ$+\frac{q-1}{b}$×n$+\frac{q-2}{b}$，
要使a_n+1-a_n是与n无关的常数，必需q=2，
即①当等比数列{b_n}的公比q=2时，数列{a_n}是等差数列，其通项公式是a_n=$\frac{n}{b}$；
②当等比数列{b_n}的公比不是2时，数列{a_n}不是等差数列．  
（3）由（2）知a_nb_n=n•2^n-1，
显然n=1，2时$\frac{1}{{a}_{1}{b}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{b}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{b}_{n}}$＜$\frac{3}{2}$，
当n≥3时$\frac{1}{{a}_{1}{b}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{b}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{b}_{n}}$=$\frac{1}{1×1}$$+\frac{1}{2×2}$$+\frac{1}{3×{2}^{2}}$$+\frac{1}{4×{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{n×{2}^{n-1}}$＜$\frac{1}{1×1}$$+\frac{1}{2×2}$$+\frac{1}{2×{2}^{2}}$+$\frac{1}{2×{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{2×{2}^{n-1}}$=
1$+\frac{1}{2×2}$$•\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n-1}}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{3}{2}$$-\frac{1}{{2}^{n}}$$＜\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了数列的综合应用，递推关系式的运用，不等式，放缩法求解证明不等式，属于综合题目，难度较大，化简较麻烦．