【题目】对于双曲线:
(
),若点
满足
,则称
在
的外部;若点
满足
,则称
在
的内部.
(1)证明:直线上的点都在
的外部.
(2)若点的坐标为
,点
在
的内部或
上,求
的最小值.
(3)若过点
,圆
(
)在
内部及
上的点构成的圆弧长等于该圆周长的一半,求
、
满足的关系式及
的取值范围.
【答案】(1)见解析 (2) 最小值为.(3)
,
的取值范围为
.
【解析】
(1)设直线上的点坐标为,代入双曲线
方程检验;
(2)设点,由题设
.
,求得这个式子的最小值即可.
(3)由于圆和双曲线
均关于坐标轴和原点对称,所以只需考虑这两个曲线在第一象限及
、
轴正半轴的情况.圆与双曲线的交点平分该圆在第一象限内的圆弧,它们交点的坐标为
.代入双曲线方程得
(*),双曲线过点
,得
,消去
得
.
由得
的取值范围.
(1)设直线上点的坐标为
,代入
,
得,
对于,
,因此,直线
上的点都在
的外部.
(2)设点的坐标为
,由题设
.
,由
,得
,
对于,有
,于是
,
因此,的最小值为
.
(3)因为圆和双曲线
均关于坐标轴和原点对称,所以只需考虑这两个曲线在第一象限及
、
轴正半轴的情况.
由题设,圆与双曲线的交点平分该圆在第一象限内的圆弧,它们交点的坐标为.…
将,
代入双曲线
方程,得
(*),
又因为过点
,所以
,
将代入(*)式,得
.
由,解得
.因此,
的取值范围为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】对于定义在上的函数
,有下述命题:①若
是奇函数,则
的图象关于点
对称;②函数
的图象关于直线
对称,则
为偶函数;③若对
,有
,则2是
的一个周期;④函数
与
的图象关于直线
对称.其中正确的命题是______.(写出所有正确命题的序号)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,倾斜角为
的直线
的参数方程为
(
为参数).以坐标原点为极点,以
轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程是
.
(Ⅰ)写出直线的普通方程和曲线
的直角坐标方程;
(Ⅱ)若直线经过曲线
的焦点
且与曲线
相交于
两点,设线段
的中点为
,求
的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知数列与
满足
,
.
(1)若,求数列
的通项公式;
(2)若,且数列
是公比等于2的等比数列,求
的值,使数列
也是等比数列;
(3)若,且
,数列
有最大值
与最小值
,求
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】(理)已知数列满足
(
),首项
.
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的前
项和
;
(3)数列满足
,记数列
的前
项和为
,
是△ABC的内角,若
对于任意
恒成立,求角
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某公司生产的某批产品的销售量万件(生产量与销售量相等)与促销费用
万元满足
(其中
,
为正常数).已知生产该产品还需投入成本
万元(不含促销费用),产品的销售价格定为
元
件.
(1)将该产品的利润万元表示为促销费用
万元的函数;
(2)促销费用投入多少万元时,该公司的利润最大?
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【题目】某电器专卖店销售某种型号的空调,记第天(
,
)的日销售量为
(单位;台).函数
图象中的点分别在两条直线上,如图,该两直线交点的横坐标为
,已知
时,函数
.
(1)当时,求函数
的解析式;
(2)求的值及该店前
天此型号空调的销售总量;
(3)按照经验判断,当该店此型号空调的销售总量达到或超过台,且日销售量仍持续增加时,该型号空调开始旺销,问该店此型号空调销售到第几天时,才可被认为开始旺销?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,等腰梯形中,
,
,E为CD中点,将
沿AE折到
的位置.
(1)证明:;
(2)当折叠过程中所得四棱锥体积取最大值时,求直线
与平面
所成角的正弦值.
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