Question

已知{a_n}是等差数列,a₁=2,a₂=3,若在每相邻两项之间插入3个数,使它和原数列的数构成一个新的等差数列,
(1)原数列的第12项是新数列的第几项?
(2)新数列的第29项是原数列的第几项?

Answer 1

(1)原数列的第12项是新数列的第45项.
(2)新数列的第29项是原数列的第8项.

数列的通项公式是研究数列问题的重要工具.能否由条件找到两个数列的通项公式是解决此题的关键.
∵数列{a_n}中a₁=2,d=a₂-a₁=3-2=1,
∴a_n=a₁+(n-1)d=2+(n-1)×1=n+1.
设新数列为{b_n},公差为d′,据题意知b₁=2,b₅=3,
则d′===,
∴b_n=2+(n-1)×=+.
(1)a₁₂=12+1=13,令+=13,得n=45,故原数列的第12项是新数列的第45项.
(2)b₂₉=+=9,令n+1=9,得n=8,故新数列的第29项是原数列的第8项.