Question

7．若x、y满足$\left\{\begin{array}{l}y≥\frac{1}{2}x\\ y≤2x\\ x+4y≤9\end{array}\right.$，且z=x-ay的最大值为4，则实数a的值为$-\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，结合目标函数z=x-ay（a＞0）的最大值为4，然后根据条件即可求出a的值．

解答 解：作出不等式组$\left\{\begin{array}{l}y≥\frac{1}{2}x\\ y≤2x\\ x+4y≤9\end{array}\right.$，对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=x-ay的最大值为4，得y=$\frac{1}{a}$x-$\frac{z}{a}$，
当a＞0，∴目标函数的斜率k=$\frac{1}{a}$＞0，
平移直线y=$\frac{1}{a}$x-$\frac{z}{a}$，
由图象可知当直线y=$\frac{1}{a}$x-$\frac{z}{a}$经过点B时，直线的截距最大，此时z最大为4，即x-ay=4．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{x+4y=9}\end{array}\right.$，得（1，2），
此时1-2a=4．
解得a=-$\frac{3}{2}$．舍去
当a＜0，目标函数的斜率k=$\frac{1}{a}$＜0，
平移直线y=$\frac{1}{a}$x-$\frac{z}{a}$，
由图象可知当直线y=$\frac{1}{a}$x-$\frac{z}{a}$经过点A时，直线的截距最大为4，即x-ay=4．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{x+4y=9}\end{array}\right.$，得（3，$\frac{3}{2}$），
此时3-$\frac{3}{2}$a=4．
解得a=-$\frac{2}{3}$．
故答案为：$-\frac{2}{3}$．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．