Question

18．偶函数f（x）在（0，+∞）单调递减，f（1）=0，不等式f（x）＞0的解集为（-1，0）∪（0，1）．

Answer 1

分析 根据题意，结合函数的奇偶性与单调性，原不等式f（x）＞0可以转化为|x|＜1且x≠0，解可得x的取值范围，即可得答案．

解答 解：根据题意，对于函数f（x），f（1）=0，则f（x）＞0?f（x）＞f（1），
又由函数f（x）为偶函数，则f（x）＞f（1）?f（|x|）＞f（1），
函数f（x）在（0，+∞）单调递减，则f（|x|）＞f（1）?|x|＜1且x≠0，
综合可得：f（x）＞0?|x|＜1且x≠0，
解可得-1＜x＜1且x≠0，
即不等式f（x）＞0的解集为（-1，0）∪（0，1）；
故答案为：（-1，0）∪（0，1）．

点评 本题考查函数单调性与奇偶性的综合应用，关键是综合运用函数的奇偶性与单调性分析，得到关于x的不等式．