Question

9．    四棱锥P-ABCD的底面ABCD为边长为2的正方形，PA=2，PB=PD=2$\sqrt{2}$，E，F，G，H分别为棱PA，PB，AD，CD的中点．
（1）求CD与平面CFG所成角的正弦值；
（2）是探究棱PD上是否存在点M，使得平面CFG⊥平面MEH，若存在，求出$\frac{PM}{PD}$的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能出CD与平面CFG所成角的正弦值．
（2）假设棱PD上是否存在点M（a，b，c），且$\overrightarrow{PM}=λ\overrightarrow{PD}$，（0≤λ≤1），使得平面CFG⊥平面MEH，求出平面MEH的法向量和平面CFG的法向量，利用向量法能求出棱PD上存在点M，使得平面CFG⊥平面MEH，此时$\frac{PM}{PD}$=$\frac{1}{3}$．

解答 解：（1）∵四棱锥P-ABCD的底面ABCD为边长为2的正方形，PA=2，PB=PD=2$\sqrt{2}$，
∴PA²+AB²=PB²，PA²+AD²=PD²，
∴PA⊥AB，PA⊥AD，
∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，
建立空间直角坐标系，
∵E，F，G，H分别为棱PA，PB，AD，CD的中点．
∴C（2，2，0），D（0，2，0），B（2，0，0），
P（0，0，2），F（1，0，1），G（0，1，0），
$\overrightarrow{CD}$=（-2，0，0），$\overrightarrow{CF}$=（-1，-2，1），
$\overrightarrow{CG}$=（-2，-1，0），
设平面CFG的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CF}=-x-2y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CG}=-2x-y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-2，-3），
设CD与平面CFG所成角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{CD}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{CD}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{2\sqrt{14}}$=$\frac{\sqrt{14}}{14}$．
∴CD与平面CFG所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{14}}{14}$．
（2）假设棱PD上是否存在点M（a，b，c），且$\overrightarrow{PM}=λ\overrightarrow{PD}$，（0≤λ≤1），使得平面CFG⊥平面MEH，
则（a，b，c-2）=（0，2λ，-2λ），∴a=0，b=2λ，c=2-2λ，即M（0，2λ，2-2λ），
E（0，0，1），H（1，2，0），$\overrightarrow{EH}$=（1，2，-1），$\overrightarrow{EM}$=（0，2λ，1-2λ），
设平面MEH的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EH}=x+2y-z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EM}=2λy+（1-2λ）z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{m}$=（$\frac{2-2λ}{2λ-1}$，1，$\frac{2λ}{2λ-1}$），
平面CFG的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，-2，-3），
∵平面CFG⊥平面MEH，
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=$\frac{2-2λ}{2λ-1}$-2-$\frac{6λ}{2λ-1}$=0，
解得$λ=\frac{1}{3}$∈[0，1]．
∴棱PD上存在点M，使得平面CFG⊥平面MEH，此时$\frac{PM}{PD}$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查线面角的正弦值的求法，考查满足面面垂直的点的位置的确定与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．