Question

8．已知{a_n}是公差为d的等差数列，它的前n项和为S_n，S₄=2S₂+8．
（I）求公差d的值；
（II ）若a₁=1，设T_n是数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和，求使不等式T_n≥$\frac{1}{18}$（m²-5m）对所有的n∈N^*恒成立的最大正整数m的值；
（III）设b_n=$\frac{2+{a}_{n}}{{a}_{n}}$，若对任意的n∈N^*，都有b_n≤b₄成立，求a₁的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据S₄=2S₂+8，利用等差数列的前n项和的公式列出方程，求出公差d即可；
（Ⅱ）根据裂项求和放缩法到T_n≥$\frac{1}{3}$，再根据T_n≥$\frac{1}{18}$（m²-5m）对所有的n∈N^*恒成立，得到$\frac{1}{3}$≥$\frac{1}{18}$（m²-5m），解得即可．
（Ⅲ）b_n=$\frac{2+{a}_{n}}{{a}_{n}}$=1+$\frac{2}{{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{n+\frac{{a}_{1}}{2}-1}$，构造函数函数f（x）=1+$\frac{1}{x+\frac{{a}_{1}}{2}-1}$在（-∞，1-$\frac{{a}_{1}}{2}$）和（1-$\frac{{a}_{1}}{2}$，+∞）上分别是单调减函数，即可判断出a₁的取值范围

解答 解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，
∵S₄=2S₂+8，
即4a₁+6d=2（2a₁+d）+8，
化简得：4d=8，
解得d=2．
（Ⅱ）由a₁=1，d=2，得a_n=2n-1，
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）．
∴T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）≥$\frac{1}{3}$
又∵不等式T_n≥$\frac{1}{18}$（m²-5m）对所有的n∈N*恒成立，
∴$\frac{1}{3}$≥$\frac{1}{18}$（m²-5m），
化简得：m²-5m-6≤0，
解得：-1≤m≤6．
∴m的最大正整数值为6．
（Ⅲ）由d=2，得 a_n=a₁+2n-2，
又∵b_n=$\frac{2+{a}_{n}}{{a}_{n}}$=1+$\frac{2}{{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{n+\frac{{a}_{1}}{2}-1}$，
又函数f（x）=1+$\frac{1}{x+\frac{{a}_{1}}{2}-1}$在（-∞，1-$\frac{{a}_{1}}{2}$）和（1-$\frac{{a}_{1}}{2}$，+∞）上分别是单调减函数，
且x＜1-$\frac{{a}_{1}}{2}$时y＜1；x＞1-$\frac{{a}_{1}}{2}$时y＞1．
∵对任意的n∈N*，都有b_n≤b₄成立，
∴3＜1-$\frac{{a}_{1}}{2}$＜4，
解得-6＜a₁＜-4，即a₁的取值范围为（-6，-4）．

点评 本题考查了数列的递推公式和裂项求和以及放缩法和函数的性质，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．