Question

如图，圆内接四边形ABCD的边BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上．
（Ⅰ）若

EC

EB

=

1

3

，

ED

EA

=

1

2

，求

DC

AB

的值；
（Ⅱ）若EF∥CD，证明：EF²=FA•FB．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段,相似三角形的性质

专题：推理和证明

分析：（Ⅰ）由四点共圆得∠EDC=∠EBF，从而△CED∽△AEB，由此能求出

DC

AB

的值．
（Ⅱ）由平行线性质得∠FEA=∠EDC，由四点共圆得∠EDC=∠EBF，从而△FAE∽△FEB，由此能证明EF²=FA•FB．

解答： （Ⅰ）解：∵A，B，C，D四点共圆，
∴∠EDC=∠EBF，
又∵∠CED=∠AEB，∴△CED∽△AEB，
∴

EC

EA

=

ED

EB

=

DC

AB

，∵

EC

EB

=

1

3

，

ED

EA

=

1

2

，
∴

DC

AB

=

6

6

．…（5分）
（Ⅱ）证明：∵EF∥CD，∴∠FEA=∠EDC，
又∵A，B，C，D四点共圆，
∴∠EDC=∠EBF，∴∠FEA=∠EBF，
又∵∠EFA=∠BFE，∴△FAE∽△FEB，
∴

EF

FA

=

FB

FE

，∴EF²=FA•FB…（10分）

点评：本题考查

DC

AB

的值的求法，考查EF²=FA•FB的证明，解题时要认真审题，注意四点共圆的性质的合理运用．