Question

3．用数学归纳法证明：对于任意大于1的正整数n，不等式$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{n-1}{n}$都成立．

Answer 1

分析 利用数学归纳法证明即可，注意在证明当n=k+1时，利用$\frac{1}{（k+1）^{2}}$＜$\frac{1}{k（k+1）}$即可．

解答 证明：（1）当n=2时，左边=$\frac{1}{{2}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，右边=$\frac{1}{2}$，左边＜右边，成立；
（2）假设当n=k（k∈N^*，k≥2）时，不等式$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{k}^{2}}$＜$\frac{k-1}{k}$都成立．
则当n=k+1时，左边=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{k}^{2}}$+$\frac{1}{（k+1）^{2}}$＜$\frac{k-1}{k}$+$\frac{1}{（k+1）^{2}}$＜$\frac{k-1}{k}$+$\frac{1}{k（k+1）}$=$\frac{k}{k+1}$=$\frac{（k+1）-1}{k+1}$=右边．
∴当n=k+1时，不等式成立．
综上可得：对于任意大于1的正整数n，不等式$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{n-1}{n}$都成立．

点评 本题考查了数学归纳法、“放缩法”、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．