Question

已知双曲线

x2

m

-y2=1的一条渐近线和圆x²+y²-4x+3=0相切，则该双曲线的离心率为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质,圆的切线方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据圆方程，得到圆心坐标C（2，0），圆x²+y²-4x+3=0与渐近线相切，说明C到渐近线的距离等于半径1，再根据双曲线的渐近线方程和点到直线的距离公式，求出m，即可得出该双曲线的离心率．

解答： 解：圆x²+y²-4x+3=0可化为（x-2）²+y²=1，
∴圆心坐标C（2，0），半径为1，
∵双曲线

x2

m

-y2=1的渐近线方程为y=±

x

m

，渐近线和圆x²+y²-4x+3=0相切，
∴

2 m

1 m +1

=1，
∴m=3，
∴双曲线中a=

3

，b=1，c=2，
∴双曲线的离心率为e=

c

a

=

2

3

=

2 3

3

．
故答案为：

2 3

3

．

点评：本题给出双曲线的渐近线与已知圆相切，求双曲线的离心率，着重考查了直线与圆的位置关系和双曲线的简单性质等知识，属于基础题．