Question

20．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知∠BCA=90°，∠BAC=60°，AC=4，E为AA₁的中点，点F为BE的中点，点H在线段CA₁上，且A₁H=3HC，则线段FH的长为（　　）

• A． $2\sqrt{3}$
• B． 4
• C． $\sqrt{13}$
• D． 3

Answer 1

分析 以C为原点建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（0，4，0），B（0，4$\sqrt{3}$，0），E（4，0，m），A₁（4，0，2m）．可得F（2，2$\sqrt{3}$，$\frac{m}{2}$），H（1，0，$\frac{m}{2}$），利用空间两点间的距离公式计算即可．

解答 解：如图，以C为原点建立空间直角坐标系，
∵∠BCA=90°，∠BAC=60°，AC=4，∴BC=4$\sqrt{3}$，
则C（0，0，0），A（0，4，0），B（0，4$\sqrt{3}$，0），E（4，0，m），A₁（4，0，2m）．
∵点F为BE的中点，∴F（2，2$\sqrt{3}$，$\frac{m}{2}$），
∵点H在线段CA₁上，且A₁H=3HC，∴H（1，0，$\frac{m}{2}$）
∴FH=$\sqrt{（2-1）^{2}+（2\sqrt{3}-0）^{2}+（\frac{m}{2}-\frac{m}{2}）^{2}}$=$\sqrt{13}$．
故选C．

点评 本题考查了空间两点间的距离公式计算，属于基础题．