Question

15．已知直线l：y=x+b，圆C：x²+y²+2ax-2ay+2a²-4a=0（a＞0）．
（1）当a=1时，直线l与圆C相切，求b的值；
（2）当b=1时，是否存在a，使得直线l与圆C相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，且满足x₁x₂+y₁y₂=1？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把a=1代入圆C的方程，化为标准方程，求出圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式列式求得b值；
（2）当b=1时，假设存在a，使直线l：y=x+1与圆C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，联立方程，消去y得：2x²+2x+2a²-6a+1=0，利用根与系数的关系结合判别式分析可得不存在a，使得直线l与⊙C相交于A、B两点，且满足x₁x₂+y₁y₂=1．

解答 解：（1）当a=1时，圆C：x²+y²+2ax-2ay+2a²-4a=0化为x²+y²+2x-2y-2=0，
即（x+1）²+（y-1）²=4，
∴圆心C（-1，1），半径r=2．
∵直线l与圆C相切，
∴$\frac{|-1-1+b|}{\sqrt{2}}=2$，解得b=2±$2\sqrt{2}$；
（2）当b=1时，假设存在a，使直线l：y=x+1与圆C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，
联立方程，消去y得：2x²+2x+2a²-6a+1=0，
∴x₁+x₂=-1，x₁x₂=a²-3a+$\frac{1}{2}$．
又∵y₁•y₂=（x₁+1）（x₂+1）=x₁•x₂+（x₁+x₂）+1，
∴x₁x₂+y₁y₂=2x₁•x₂+（x₁+x₂）+1
=2（a²-3a+$\frac{1}{2}$）-1+1=1，
即：2a²-6a=0，解得：a=3或a=0（舍去），
又∵△=2²-8（2a²-6a+1）＜0，
故不存在a，使得直线l与⊙C相交于A、B两点，且满足x₁x₂+y₁y₂=1．

点评 本题考查直线与圆的位置关系及其方程的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．