Question

4．△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且2$\overrightarrow{OC}$$+\overrightarrow{CB}$$+\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{0}$，|$\overrightarrow{OC}$|=|$\overrightarrow{CB}$|，则$\overrightarrow{AC}$$•\overrightarrow{AB}$等于（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 3
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 利用向量的运算法则将已知等式化简得到$\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OA}$，得到AB为直径，故△ABC为直角三角形，求出三边长可得A 的值，利用两个向量的数量积的定义求值．

解答 解：因为2$\overrightarrow{OC}$$+\overrightarrow{CB}$$+\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{0}$，所以$\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{0}$，所以$\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OA}$，
所以O，B，A共线，AB为圆的直径，
所以AC⊥BC，△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，
$\overrightarrow{OC}$|=|$\overrightarrow{CB}$|，
所以∠A=30°，BC=1，AC=$\sqrt{3}$
所以$\overrightarrow{AC}$$•\overrightarrow{AB}$=|$\overrightarrow{AC}$||$\overrightarrow{AB}$|cos30°=$\sqrt{3}$×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3；
故选C．

点评 本题主要考查向量在几何中的应用、向量的数量积，向量垂直的充要条件等基本知识．求出△ABC为直角三角形及三边长，是解题的关键．