Question

13．设函数f（x）=|x+1|-|x-a|（a∈R）
（Ⅰ）当a=l时，求不等式f（x）≤1的解集
（Ⅱ）对任意m∈R^*，x∈R不等式f（x）≤m+$\frac{4}{m}$恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用分段函数，求得当a=l时，不等式f（x）≤1的解集．
（Ⅱ）利用绝对值三角不等式求得f（x）的最大值为|a+1|，结合题意可得|a+1|≤m+$\frac{4}{m}$恒成立．利用基本不等式求得m+$\frac{4}{m}$的最小值为4，可得|a+1|≤4，解此绝对值不等式，求得实数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）当a=l时，f（x）=|x+1|-|x-a|=|x+1|-|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{-2，x≤-1}\\{2x，-1＜x＜1}\\{2，x≥1}\end{array}\right.$，
∴由不等式f（x）≤1，可得x≤$\frac{1}{2}$，即不等式f（x）≤1的解集为{x|x≤$\frac{1}{2}$ }．
（Ⅱ）由f（x）=|x+1|-|x-a|≤|x+1-（x-a）|=|a+1|，
对任意m∈R^*，x∈R不等式f（x）≤m+$\frac{4}{m}$恒成立，
可得|a+1|≤m+$\frac{4}{m}$恒成立．
而m+$\frac{4}{m}$≥2$\sqrt{m•\frac{4}{m}}$=4，∴|a+1|≤4，∴-4≤a+1≤4，即-5≤a≤3，
故实数a的取值范围为{a|-5≤a≤3}．

点评 本题主要考查分段函数的应用，绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，函数的恒成立问题，基本不等式的应用，属于中档题．