Question

1．已知命题p：复数z=（a-2）+（a²-3a-4）i（i为虚数单位，a∈R），z对应的点位于复平面的第一象限内；命题q：|a-1|≥sinx对任意x∈R都成立，若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 根据条件求出命题p，q为真命题的等价条件，结合复合命题之间的关系进行求解即可．

解答 解：若z对应的点位于复平面的第一象限内，
则$\left\{\begin{array}{l}{a-2＞0}\\{{a}^{2}-3a-4＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＞2}\\{a＞4或a＜-1}\end{array}\right.$，得a＞4，即p：a＞4，
若|a-1|≥sinx对任意x∈R都成立，则|a-1|≥1，
即a-1≥1，或a-1≤-1，
即a≥2或a≤0，即q：a≥2或a≤0，
若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，
则p，q为一真一假，
若p真q假，则$\left\{\begin{array}{l}{a＞4}\\{0＜a＜2}\end{array}\right.$，此时无解，
若p假q真，则$\left\{\begin{array}{l}{a≤4}\\{a≥2或a≤0}\end{array}\right.$得a≤0或2≤a≤4，
即实数a的取值范围是a≤0或2≤a≤4．

点评 本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据条件求出命题p，q为真命题的等价条件是解决本题的关键．