Question

10．在极坐标系中，曲线C₁的极坐标方程为ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，若以极点为原点，极轴所在直线为x轴建立直角坐标系，则C₁的直角坐标方程为y=x+2，；曲线C₂在直角坐标系中的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cost\\ y=2+2sint\end{array}$（参数t∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}}$]），则C₂的直角坐标方程为x²+（y-2）²=4；C₁被C₂截得的弦长为4．

Answer 1

分析 曲线C₁的极坐标方程为ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，展开可得：$\frac{\sqrt{2}}{2}（ρsinθ-ρcosθ）$=$\sqrt{2}$，把$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$，代入即可得出直角坐标方程．曲线C₂在直角坐标系中的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cost\\ y=2+2sint\end{array}$（参数t∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}}$]），利用cos²t+sin²t=1即可得出直角坐标方程．

解答 解：曲线C₁的极坐标方程为ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，展开可得：$\frac{\sqrt{2}}{2}（ρsinθ-ρcosθ）$=$\sqrt{2}$，
可得直角坐标方程：y=x+2；
曲线C₂在直角坐标系中的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cost\\ y=2+2sint\end{array}$（参数t∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}}$]），
化为x²+（y-2）²=4，可得圆心C₂（0，2），半径r=2．
由于圆心（0，2）满足直线方程，因此：C₁被C₂截得的弦长为2r=4．
故答案分别为：y=x+2；为x²+（y-2）²=4；4．

点评 本题考查了直角坐标与极坐标的互化、参数方程化为普通方程、直线与圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．