Question

13．已知角α的终边经过点P（3，-1），且$tan（β+\frac{π}{4}）=3$．
（Ⅰ）求sin2α，cos2α的值；
（Ⅱ）求tan（2α-β）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由角α的终边经过点P，即可求出sinα，cosα的值，再由二倍角公式即可求出sin2α，cos2α的值；
（Ⅱ）由两角和的正切公式求出tanβ的值，再求出tan2α，根据两角差的正切公式计算得答案．

解答 解：（Ⅰ）由角α的终边经过点P（3，-1），
得$r=\sqrt{{3}^{2}+1}=\sqrt{10}$．
则$sinα=-\frac{\sqrt{10}}{10}$，$cosα=\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
∴$sin2α=2sinαcosα=-\frac{3}{5}$，
$cos2α=2co{s}^{2}α-1=\frac{4}{5}$；
（Ⅱ）$tan（β+\frac{π}{4}）=\frac{tanβ+tan\frac{π}{4}}{1-tan\frac{π}{4}tanβ}$=$\frac{1+tanβ}{1-tanβ}=3$，
解得：$tanβ=\frac{1}{2}$．
又$tan2α=\frac{sin2α}{cos2α}=-\frac{3}{4}$．
∴tan（2α-β）=$\frac{tan2α-tanβ}{1+tan2αtanβ}$=$\frac{-\frac{3}{4}-\frac{1}{2}}{1+（-\frac{3}{4}）×\frac{1}{2}}=-2$．

点评 本题考查了三角函数的化简求值，考查了三角函数的诱导公式，是中档题．