Question

4．关于x的不等式x²-ax+b＜0的解集为{x|2＜x＜3}．
（Ⅰ）求a+b；
（Ⅱ）若不等式-x²+bx+c＞0的解集为空集，求c的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系求出a、b的值，再求和；
（Ⅱ）把b=6代入不等式-x²+bx+c＞0，由判别式△≤0求出c的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由题意得：方程x²-ax+b=0的两根为2和3，…（2分）
所以$\left\{\begin{array}{l}{2+3=a}\\{2×3=b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=5}\\{b=6}\end{array}\right.$，…（4分）
所以a+b=11；   …（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b=6，
因为不等式-x²+bx+c＞0的解集为空集，
所以△=6²+4c≤0，…（8分）
解得c≤-9，
所以c的取值范围为（-∞，-9]．         …（10分）

点评 本题主要考查了一元二次不等式的基本解法，也考查了推理论证能力、运算求解能力与数形结合的数学思想方法．