Question

15．在直线l₁：ax-y-a+2=0（a∈R），过原点O的直线l₂与l₁垂直，垂足为M，则|OM|的最大值为$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 分a=0或a≠0两种情况讨论，设y=$\frac{{a}^{2}-4a+4}{{a}^{2}+1}$，根据判别式求出y的范围，即可得到|OM|的最大值

解答 解：直线l₁：ax-y-a+2=0（a∈R），化为y=ax-a+2，则直线l₁的斜率为a，
当a=0时，1₁：y=2，
∵过原点O的直线l₂与l₁垂直，
∴直线l₂的方程为x=0，
∴M（0.2），
∴|OM|=2，
当a≠0时，
则直线l₂的斜率为-$\frac{1}{a}$，
则直线l₂的方程为y=-$\frac{1}{a}$x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=ax-a+2}\\{y=-\frac{1}{a}x}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{a（a-2）}{{a}^{2}+1}$，y=$\frac{2-a}{{a}^{2}+1}$，
∴M（$\frac{a（a-2）}{{a}^{2}+1}$，$\frac{2-a}{{a}^{2}+1}$），
则|OM|=$\sqrt{\frac{（a-2）^{2}}{{a}^{2}+1}}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}-4a+4}{{a}^{2}+1}}$，
设y=$\frac{{a}^{2}-4a+4}{{a}^{2}+1}$，则（1-y）a²-4a+4-y=0，
∴△=16-4（1-y）（4-y）≥0，
解得0≤y≤5，
∴|OM|的最大值为$\sqrt{5}$，
综上所述：|OM|的最大值为$\sqrt{5}$，
故答案为：$\sqrt{5}$

点评 本题考查了直线方程的垂直的关系和直线与直线的交点和函数的最值得问题，属于中档题