Question

1．已知$f（x）={log_{0.5}}（{x^2}-mx-m）$．
（1）若函数f（x）的定义域为R，求实数m的取值范围；
（2）若函数f（x）在区间$（-2，-\frac{1}{2}）$上是递增的，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据对数函数以及二次函数的性质求出m的范围即可；
（2）根据复合函数的单调性得到关于m的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）由函数$f（x）={log_{0.5}}（{x^2}-mx-m）$的定义域为R可得：
不等式x²-mx-m＞0的解集为R，∴△=m²+4m＜0，解得-4＜m＜0，
∴所求m的取值范围是：m∈（-4，0）．
（2）由函数f（x）在区间$（-2，-\frac{1}{2}）$上是递增的，
得：g（x）=x²-mx-m区间$（-2，-\frac{1}{2}）$上是递减的，
且g（x）＞0在区间$（-2，-\frac{1}{2}）$上恒成立；
则$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{m}{2}≥-\frac{1}{2}}\\{g（-\frac{1}{2}）=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}m-m≥0}\end{array}}\right.$，解得$m∈[{-1，\frac{1}{2}}]$．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查对数函数的性质，是一道中档题．