Question

已知函数y=f（x）满足f（x+1）=f（x-1），且x∈[-1，1]时，f（x）=x²，则函数y=f（x）与y=log₃|x|的图象的交点的个数是

 

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Answer 1

考点：函数的图象

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：f（x）是个周期为2的周期函数，且是个偶函数，在一个周期[-1，1）上，图象是抛物线的一段，且 0≤f（x）≤1，同理得到在其他周期上的图象；y=log₃|x|也是个偶函数，图象过（1，0），和（3，1），结合图象可得函数y=f（x）的图象与函数y=log₃|x|的图象的交点个数．

解答： 解：由题意知，函数y=f（x）是个周期为2的周期函数，且是个偶函数，在一个周期[-1，1）上，
图象是抛物线的一段，且 0≤f（x）≤1，同理得到在其他周期上的图象．
函数y=log₃|x|也是个偶函数，先看他们在[0，+∞）上的交点个数，
则它们总的交点个数是在[0，+∞）上的交点个数的2倍，
在（0，+∞）上，y=log₃|x|=log₃x，图象过（1，0），和（3，1），是单调增函数，与f（x）交与2个不同点，
∴函数y=f（x）的图象与函数y=log₃|x|的图象的交点个数是4个．
故答案为4．

点评：本题主要考查函数的基本性质--单调性、周期性，考查数形结合的思想．数形结合在数学解题中有重要作用，在掌握这种思想能够给解题带来很大方便．