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    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    已知△ABC，点O满足
    OC
    =2
    BO
    ，过点O的直线与线段AB及AC的延长线分别相交于点E，F，设
    AE
    =λ
    AB
    ，
    AF
    =μ
    AC
    ，则8λ+μ的最小值是
     
    ．
    考点：平面向量数量积的运算
    专题：计算题,综合题,平面向量及应用
    分析：由三角形法则可得
    AO
    =
    2
    3
    AB
    +
    1
    3
    AC
    ，由E、O、F三点共线，得
    AO
    =m
    AE
    +(1-m)
    AF
    =mλ
    AB
    +（1-m）μ
    AC
    ，由
    mλ=
    2
    3
    (1-m)μ=
    1
    3
    消掉m得，
    2
    3λ
    +
    1
    3μ
    =1    ，从而8λ+μ=（8λ+μ）•(
    2
    3λ
    +
    1
    3μ
    )    ，利用基本不等式可求答案．
    解答： 解：∵
    OC
    =2
    BO
    ，
    ∴
    AO
    =
    AB
    +
    BO
    =
    AB
    +
    1
    3
    BC

    =
    AB
    +
    1
    3
    (
    AC
    -
    AB
    )
    =
    2
    3
    AB
    +
    1
    3
    AC
    ，
    由E、O、F三点共线，得
    AO
    =m
    AE
    +(1-m)
    AF
    =mλ
    AB
    +（1-m）μ
    AC
    ，
    ∴
    mλ=
    2
    3
    (1-m)μ=
    1
    3
    ，消掉m得，
    2
    3λ
    +
    1
    3μ
    =1    ①，（
    2
    3
    ＜λ＜1    ，μ＞1），
    ∴8λ+μ=（8λ+μ）•(
    2
    3λ
    +
    1
    3μ
    )    =
    17
    3
    +    （
    2μ
    3λ
    +
    8λ
    3μ
    ）≥
    17
    3
    +2
    2μ
    3λ
    •
    8λ
    3μ
    =
    25
    3
    ，
    当且仅当
    2μ
    3λ
    =
    8λ
    3μ
    ②时取等号，由①②可解得μ=
    5
    3
    ，λ=
    5
    6
    ，
    故答案为：
    25
    3
    ．
    点评：本题考查向量加法的三角形法则、三点共线的条件及基本不等式求最值，考查学生综合运用知识解决问题的能力，属中档题．
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    a
    、
    b
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    a
    |=|
    b
    |，且
    a
    •（
    a
    -
    b
    ）=0，则
    a
    与
    b
    的夹角为
     
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    ．

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    2x-y≤0
    x+y-3≥0
    x+2y≤6
    ，则z=x-y的最小值为（　　）
    A、-1
    B、-
    6
    5
    C、-3
    D、3

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    若复数z=
    		3
    i+1
    1+i
    （其中i是虚数单位），则|z|=（　　）
    A、2
    		2
    B、
    		2
    C、1
    D、1

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