Question

17．已知直线l与椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$交于A，B两点，且椭圆过$（1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}），（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$两点，O为坐标原点．
（1）求椭圆方程；
（2）求△AOB面积的最大值，及此时直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用点的坐标满足方程，求出a，b即可得到椭圆方程．
（2）通过直线的斜率是否存在，分别求解满足题意的三角形的面积表达式，利用最大值求解即可．

解答 解：（1）椭圆过$（1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}），（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$两点两点，1a2+12b2=112a2+34b2=1，解得a²=2，b²=1
可得椭圆方程：$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，…（5分）
（2）当l斜率不存在时，可设l：x=t，${S_{△AOB}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}\sqrt{{t^2}（2-{t^2}）}≤\frac{{\sqrt{2}}}{2}$当且仅当t²=2-t²，即t=±1…（7分）
当l斜率存在时，可设l：y=kx+m，联立椭圆方程得：（1+2k²）x²+4kmx+2（m²-1）=0，$△=8（1+2{k^2}-{m^2}）＞0，{x_1}+{x_2}=-\frac{4km}{{1+2{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{2（{m^2}-1）}}{{1+2{k^2}}}$，$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}\frac{{\sqrt{8（1+2{k^2}-{m^2}）}}}{{1+2{k^2}}}，h=\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，…（10分）${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}\sqrt{1+{k^2}}\frac{{\sqrt{8（1+2{k^2}-{m^2}）}}}{{1+2{k^2}}}-\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=\sqrt{2}\frac{{\sqrt{（1+2{k^2}-{m^2}）{m^2}}}}{{1+2{k^2}}}≤\sqrt{2}\frac{{\frac{1}{2}（1+2{k^2}）}}{{1+2{k^2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
当且仅当m²=1+2k²-m²，即${m^2}=\frac{1}{2}+{k^2}$…（14分）
故S_△AOB的最大值为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，此时直线的方程为x=±1，$y=kx±\sqrt{{k^2}+\frac{1}{2}}$…（15分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．