Question

7．已知某几何体的直观图（图1）和三视图如图2所示，其正（主）视图为矩形，侧（左）视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．

（1）若M为EC中点，在AD上找一点P，使MP∥平面ABE；
（2）若N为AD中点，证明：FN⊥CE；
（3）求二面角E-BD-C的正切值．

Answer 1

分析 （1）AP=$\frac{1}{4}$AD时，MP∥平面ABE，证明四边形MQAP是平行四边形，可得MP∥AQ，即可证明；
（2）证明FN⊥平面ENC，即可证明FN⊥CE；
（3）二面角E-BD-C的大小与二面角E-BD-A的大小互补．作AG⊥BD，连结EG，可得∠AGE是二面角E-BD-A的平面角，即可求二面角E-BD-C的正切值．

解答 （1）解：AP=$\frac{1}{4}$AD时，MP∥平面ABE，证明如下：
取EB的中点Q，连接AQ、MQ、MP，则MQ∥BC，且MQ=$\frac{1}{2}$BC．
又BC∥AD，且 BC=$\frac{1}{2}$AD，AP=$\frac{1}{4}$AD=$\frac{1}{2}$BC，
∴MQ∥AP且  MQ=AP，从而，四边形MQAP是平行四边形．
∴MP∥AQ，又MP?平面ABE，AQ?平面ABE，
∴MP∥平面ABE；
（2）证明：连接EN，CN，则CN∥AB，故CN⊥AD．
由三视图可知，平面ADFE⊥平面ABCD，面ADFE∩面ABCD=AD，
因为CN?面ABCD，故CN⊥平面ADFE．
因为FN?面ADFE，于是CN⊥FN．
又矩形ADFE，AD=2AE=8，所以FN⊥EN．
又因为EN∩CN=N，故FN⊥平面ENC，
所以FN⊥CE．
（3）显然二面角E-BD-C的大小与二面角E-BD-A的大小互补．
作AG⊥BD，连结EG，由三视图知，AE⊥平面ABCD，∴AE⊥BD，
从而BD⊥平面AEG，∴∠AGE是二面角E-BD-A的平面角
在直角三角形DAB中，求得AG=$\frac{8}{\sqrt{5}}$，∴tan∠AGE=$\frac{EA}{AG}$=$\frac{4×\sqrt{5}}{8}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴二面角E-BD-C的正切值为-$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题主要考查线面平行、垂直关系，及二面角的平面角等基础知识，考查空间想象能力、抽象概括能力和运算求解能力．其中根据已知三视图分析出几何体的形状及几何特征是解答本题的关键．