Question

16．已知函数f（x）=x³+x，g（x）=f（x）-ax（a∈R）．
（1）当a=4时，求函数g（x）的极大值；
（2）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线l的方程；
（3）若函数g（x）在[0，1]上无极值，且g（x）在[0，1]上的最大值为3，求a的值．

Answer 1

分析 （1）求出g（x），求出导函数，根据导函数得出函数的极值即可；
（2）求出导函数，根据导函数和切线方程的关系求解即可；
（3）求出g'（x）=3x²+1-a，函数g（x）在[0，1]上无极值，得出1-a≥0或4-a≤0，分类讨论即可．

解答 解：（1）g（x）=x³-3x，
∴g'（x）=3x²-3，
当-1＜x＜1时，g'（x）＜0，当x＜-1或s＞1时，g'（x）＞0，
∴g（x）的极大值为g（-1）=2；
（2）f'（x）=3x²+1，f'（1）=4，f（1）=2，
∴切线l的方程为y-2=4（x-1），即y=4x-2；
（3）g'（x）=3x²+1-a，
当1-a≥0时，g'（x）≥0，g（x）递增；
∴最大值为g（1）=2-a=3，a=-1；
当4-a≤0时，g'（x）≤0，g（x）递减；
∴最大值为g（0）=0≠3，
综上a=-1．

点评 本题考查了导函数的基本应用，属于基础题型，应熟练掌握．