Question

19．如图，已知矩形ABCD中，AB=6，AD=4，过点C的直线l与AB，AD的延长线分别交于点M，N．
（1）若△AMN的面积不小于50，求线段DN的长度的取值范围；
（2）在直线l绕点C旋转的过程中，△AMN的面积S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及相应的AM，AN的长度；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设DN=x（x＞0），通过△NDC～△NAM，得到$\frac{x}{4+x}=\frac{6}{AM}$，然后求出三角形的面积的表达式，利用面积的范围求解即可．
（2）利用面积的表达式，利用基本不等式求解面积的最小值即可．

解答 解：（1）设DN=x（x＞0），△AMN的面积为S，
∵△NDC～△NAM，∴$\frac{x}{4+x}=\frac{6}{AM}$，∴$AM=\frac{6（x+4）}{x}$，
∴$S=\frac{1}{2}AM•AN=\frac{1}{2}•\frac{6（x+4）}{x}•（x+4）=3•\frac{{{{（x+4）}^2}}}{x}$．
由$S=3•\frac{{{{（x+4）}^2}}}{x}≥50$，得$0＜x≤\frac{8}{3}$或x≥6．
所以，线段DN的长度的取值范围$（0，\frac{8}{3}]∪[6，+∞）$．
（2）$S=3•\frac{{{{（x+4）}^2}}}{x}=3•（x+\frac{16}{x}+8）$
因为x＞0，∴$S=3•（x+\frac{16}{x}+8）≥3（2\sqrt{x•\frac{16}{x}}+8）=48$，
当且仅当$x=\frac{16}{x}$，即x=4，等号成立，此时AM=12，
故存在M，N点，当AM=12，AN=8，△AMN的面积S有最小值48．

点评 本题考查函数的模型的选择与应用，二次函数的性质的应用，基本不等式求解表达式的最值，考查转化思想以及计算能力．