Question

14．如图，在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c．O是△ABC的外心，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，则OD：OE：OF等于（　　）

• A． a：b：c
• B． $\frac{1}{a}：\frac{1}{b}：\frac{1}{c}$
• C． sinA：sinB：sinC
• D． cosA：cosB：cosC

Answer 1

分析 作出△ABC的外接圆，连接OA、OB、OC，由垂径定理和圆周角定理可得∠B=$\frac{1}{2}$∠AOC=∠AOE，同理可知∠A=∠BOD、∠C=∠AOF，若设⊙O的半径为R，可用R分别表示出OD、OE、OF，进而可得到它们的比例关系．

解答 解：如图，连接OA、OB、OC；
∵∠BOC=2∠BAC=2∠BOD，
∴∠BAC=∠BOD；
同理可得：∠BOF=∠BCA，∠AOE=∠ABC；
设⊙O的半径为R，则：
OD=R•cos∠BOD=R•cos∠A，
OE=R•cos∠AOE=R•cos∠B，
OF=R•cos∠BOF=R•cos∠C，
故OD：OE：OF=cos∠A：cos∠B：cos∠C，
故选D．

点评 此题主要考查了三角形的外接圆、圆周角定理及垂径定理的综合应用，解题的关键是能够作出已知三角形的外接圆，难度中等．