Question

6．如图，在各棱长为2的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面A₁ACC₁⊥底面ABC，∠A₁AC=60°．
（1）求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积；
（2）已知点D是平面ABC内一点，且四边形ABCD为平行四边形，在直线AA₁上是否存在点P，使DP∥平面AB₁C？若存在，请确定点P的位置，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）作A₁H⊥AC，由面面垂直性质定理得A₁H⊥底面ABC，故可求出三棱柱ABC-A₁B₁C₁的高，结合体积公式能求出解．
（2）连结AD，CD，A₁D，可证得四边形A₁B₁CD是平行四边形，从而A₁D∥B₁C，由线面平行判定定理可得结论．

解答 解：（1）作A₁H⊥AC，∵侧面A₁ACC₁⊥底面ABC，∴A₁H⊥底面ABC，
又∵∠A₁AC=60°，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中各棱长为2，
∴A₁H=AA₁sin60°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积：
V=A₁H×S_△ABC=$\sqrt{3}×（\frac{1}{2}×2×2×sin60°）$=3．
（2）在直线AA₁上当点P与A₁重合时，DP∥平面AB₁C．
理由如下：
连结AD、CD、A₁D，
∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB$\underset{∥}{=}$CD，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四边形ABB₁A₁是平行四边形，
∴AB$\underset{∥}{=}$A₁B₁，
∴A₁B₁$\underset{∥}{=}$CD，∴四边形A₁B₁CD是平行四边形，
∴A₁D∥B₁C，
∵B₁C?平面AB₁C，A₁D?平面AB₁C，
∴A₁D∥平面AB₁C，∴DP∥平面AB₁C．

点评 本题考查三棱锥体积的求法及应用，考查满足线面平行的点的位置的确定与证明，考查空间中线线、线面、面面间关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．