Question

16．已知数列{a_n}中，a₁=1，${a_{n+1}}=\frac{a_n}{{1+3{a_n}}}$
（1）求证：数列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设数列{b_n}满足：${b_n}=\frac{2^n}{a_n}$，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）推导出$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}-\frac{1}{a_n}=3$，$\frac{1}{a_1}=1$，由此能证明数列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$是首项为1，公差为3的等差数列．
（2）求出$\frac{1}{a_n}=1+（n-1）×3=3n-2$，从而能求出数列{a_n}的通项公式．
（3）由${b_n}={2^n}•（3n-2）$，利用错位相减法能求出{b_n}的前n项和T_n．

解答 （12分）
证明：（1）∵a₁=1，${a_{n+1}}=\frac{a_n}{{1+3{a_n}}}$，
∴$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}=\frac{1}{a_n}+3$，∴$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}-\frac{1}{a_n}=3$，…（2分）
又$\frac{1}{a_1}=1$，∴数列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$是首项为1，公差为3的等差数列． …（4分）
解：（2）∵数列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$是首项为1，公差为3的等差数列，
∴$\frac{1}{a_n}=1+（n-1）×3=3n-2$，
∴${a_n}=\frac{1}{3n-2}$； …（6分）
（3）∵${b_n}={2^n}•（3n-2）$…（7分）
∴${T_n}=1×{2^1}+4×{2^2}+7×{2^3}+$…+（3n-5）×2^n-1+（3n-2）×2ⁿ…（8分）
$2{T_n}=1×{2^2}+4×{2^3}+7×{2^4}$+…+（3n-5）×2ⁿ+（3n-2）×2ⁿ⁺¹…（9分）
∴$-{T_n}=2+3×{2^2}+3×{2^3}+$…+3×2ⁿ-（3n-2）×2ⁿ⁺¹…（10分）
=$2+\frac{{12•[1-{2^{n-1}}]}}{1-2}-（3n-2）×{2^{n+1}}$
=2-12+3×2ⁿ⁺¹-（3n-2）×2ⁿ⁺¹
=-10+（5-3n）×2ⁿ⁺¹…（11分）
∴${T_n}=10+（3n-5）×{2^{n+1}}$．…（12分）

点评 本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式及前n项和的求法，考查等差数列、错位相减法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．