Question

如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，延长CD至E，使得DE=2CD．动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，

AP

=λ

AB

+μ

AE

．则λ+μ的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：分别讨论点P在线段AB，BC，CD，DA上，利用共线向量基本定理用向量

AB

，

AE

来表示向量

AP

．在这一过程可以出现参数k，并且知道k的取值范围，所以根据平面向量基本定理可用k表示λ+μ，由k的范围从而求出λ+μ的范围，对在这四种情况下求得的λ+μ的范围求并集即可．

解答： 解：①当P点在线段AB上时，

AP

=λ

AB

，0≤λ≤1；
∴0≤λ+μ≤1；
②当P点在线段BC上时，∵

AD

=

AE

+

ED

=

AE

+2

AB

；
∴

AP

=

AB

+

BP

=

AB

+k

AD

=（1+2k）

AB

+k

AE

，0＜k≤1；
∴λ+μ=1+2k+k=1+3k，1＜1+3k≤4；
∴1＜λ+μ≤4；
③当P在线段CD上时，

AP

=

AD

+

DP

=

AE

+2

AB

+k

AB

=(2+k)

AB

+

AE

，0＜k≤1；
∴λ+μ=3+k，3＜k≤4；
∴3＜λ+μ≤4；
④当P在线段AD上时，

AP

=k

AD

=k

AE

+2k

AB

，0＜k＜1；
∴λ+μ=3k，0＜3k＜3；
∴0＜λ+μ＜3；
∴综上得0≤λ+μ≤4；
∴λ+μ的取值范围为[0，4]．
故答案为[0，4]．

点评：考查向量的加法，以及共线向量基本定理，平面向量基本定理．