Question

14．已知抛物线y²=4$\sqrt{3}$x的准线与双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1两条渐近线分别交于A，B两点，且|AB|=2，则双曲线的离心率e为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由已知条件，分别求出抛物线的准线方程和双曲线的渐近线，由|AB|=2，求出b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，由此能求出双曲线的离心率．

解答 解：y²=4$\sqrt{3}$x的准线方程为l：x=-$\sqrt{3}$，
双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的两条渐近线分别为：y=±$\frac{b}{a}$x，
∵抛物线y²=4$\sqrt{3}$x的准线与双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1两条渐近线分别交于A，B两点，且|AB|=2，
∴$\frac{2\sqrt{3}b}{a}$=2
即b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
∴c=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要熟练掌握抛物线、双曲线的简单性质．