Question

2．已知F₁，F₂为椭圆${C_1}：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左、右焦点，F₂在以$Q（\sqrt{2}，1）$为圆心，1为半径的圆C₂上，且|QF₁|+|QF₂|=2a．
（Ⅰ）求椭圆C₁的方程；
（Ⅱ）过点P（0，1）的直线l₁交椭圆C₁于A，B两点，过P与l₁垂直的直线l₂交圆C₂于C，D两点，M为线段CD中点，求△MAB面积的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）圆C₂的方程为${（x-\sqrt{2}）^2}+{（y-1）^2}=1$，由此圆与x轴相切，求出a，b的值，由此能求出椭圆C₁的方程．
（Ⅱ）设l₁：x=t（y-1），则l₂：tx+y-1=0，与椭圆联立，得（t²+2）y²-2t²y+t²-4=0，由此利用弦长公式、点到直线距离公式，结合已知条件能求出△MAB面积的取值范围．

解答 （本题满分15分）
解：（Ⅰ）圆C₂的方程为${（x-\sqrt{2}）^2}+{（y-1）^2}=1$，
此圆与x轴相切，切点为$（\sqrt{2}，0）$
∴$c=\sqrt{2}$，即a²-b²=2，且${F_2}（\sqrt{2}，0）$，${F_1}（-\sqrt{2}，0）$…（2分）
又|QF₁|+|QF₂|=3+1=2a．…（4分）
∴a=2，b²=a²-c²=2
∴椭圆C₁的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$．…（6分）
（Ⅱ）当l₁平行x轴的时候，l₂与圆C₂无公共点，从而△MAB不存在；
设l₁：x=t（y-1），则l₂：tx+y-1=0．
由$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1}\\{x=t（y-1）}\end{array}}\right.$，消去x得（t²+2）y²-2t²y+t²-4=0，
则$|AB|=\sqrt{1+{t^2}}|{y_1}-{y_2}|=\frac{{2\sqrt{（1+{t^2}）（2{t^2}+8）}}}{{{t^2}+2}}$．…（8分）
又圆心$Q（\sqrt{2}，1）$到l₂的距离${d_1}=\frac{{|\sqrt{2}t|}}{{\sqrt{1+{t^2}}}}＜1$，得t²＜1．…（10分）
又MP⊥AB，QM⊥CD
∴M到AB的距离即Q到AB的距离，设为d₂，
即${d_2}=\frac{{|\sqrt{2}-t+t|}}{{\sqrt{1+{t^2}}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{1+{t^2}}}}$．…（12分）
∴△MAB面积$S=\frac{1}{2}|AB|•{d_2}=\frac{{2\sqrt{{t^2}+4}}}{{{t^2}+2}}$
令$u=\sqrt{{t^2}+4}∈[2，\sqrt{5}）$
则$S=f（u）=\frac{2u}{{{u^2}-2}}=\frac{2}{{u-\frac{2}{u}}}∈（\frac{{2\sqrt{5}}}{3}，2]$．
∴△MAB面积的取值范围为$（\frac{{2\sqrt{5}}}{3}，2]$．…（15分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意弦长公式、点到直线距离公式的合理运用．