Question

已知x₁，x₂（x₁＜x₂）是方程4x²-4kx-1=0（k∈R）的两个不等实根，函数f(x)=

2x-k

x2+1

定义域为[x₁，x₂]，g（k）=f（x）_max-f（x）_min，若对任意k∈R，恒只有g(k)≤a

1+k2

成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A、[

  8

  5

  ，+∞)
• B、(-∞，

  8

  5

  ]
• C、[

  3

  5

  ，+∞)
• D、[

  3

  5

  ，

  8

  5

  ]

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：先求f′（x）=

-2x2+2kx+2

(x2+1)2

，根据x₁，x₂（x₁＜x₂）是方程4x²-4kx-1=0（k∈R）的两个不等实根，结合图象可知，当x∈[x₁，x₂]时，4x²-4kx-1≤0，则可判断导数分子的符号，因此可判断导数的符号，由此得到g（k），则利用分离常数的方法求结论中a的范围，此时只需求出关于k的函数的最值即可．

解答： 解：由已知f′（x）=

-2x2+2kx+2

(x2+1)2

，
又因为x₁，x₂（x₁＜x₂）是方程4x²-4kx-1=0（k∈R）的两个不等实根，结合图象可知，当x∈[x₁，x₂]时，4x²-4kx-1≤0，
所以-

1

2

[4x²-4kx-1-3]≥

3

2

恒成立，故f′（x）＞0在[x₁，x₂]恒成立，故f（x）在定义域内是增函数，
所以g（k）=f（x）_max-f（x）_min=f（x₂）-f（x₁）=

2x2-k

x22+1

-

2x1-k

x12+1

①，又因为x₁，x₂（x₁＜x₂）是方程4x²-4kx-1=0（k∈R）的两个不等实根，
所以x1+x2=k，x1x2=-

1

4

，代入①式化简后得：g（k）=

k2+1 (16k2+40)

16k2+25

，由对任意k∈R，g(k)≤a

1+k2

恒成立得：
a≥

16k2+40

16k2+25

=1+

15

16k2+25

，结合k²≥0，所以a≥1+

3

5

=

8

5

，
故a的取值范围是a≥

8

5

．
故选A．

点评：本题考查了不等式的恒成立问题，一般是分离参数转化为函数的最值求解，本题的关键是利用已知条件判断出函数f（x）的单调性，再用韦达定理实现对g（k）表达式的化简．