Question

如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC，BD，设内层椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），若直线AC与BD的斜率之积为-

1

4

，则椭圆的离心率为（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  2

  2

• C、

  3

  2

• D、

  3

  4

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设出切线AC和BD的方程，与椭圆方程联立消去y，根据判别式等于0求得k₁和k₂的表达式，根据AC与BD的斜率之积求得a和b的关系，进而求得a和c的关系，椭圆的离心率可得．

解答： 解：设切线AC的方程为y=k₁（x-ma），
则

y=k1(x-ma) (bx)2+(ay)2=(ab)2

，
消去y得（b²+a²k₁²）x²-2ma³k₁²x+m²a⁴k₁²-a²b²=0
由△=0，得k₁²=

b2

a2

•

1

m2-1

，同理k₂²=

b2

a2

•（m²-1）
∴k₁²•k₂²=

b4

a4

，
∵直线AC与BD的斜率之积为-

1

4

，
∴

b2

a2

=

1

4

，∴a=2b，c=

3

b，
∴e=

3

2

．
故选：C．

点评：本题主要考查了椭圆的简单性质和直线与椭圆的位置关系，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力，解题过程要注意运算的正确性．