Question

等边三角形ABC的边长为3，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足

AD

DB

=

CE

EA

=

1

2

（如图1）．将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使二面角A₁-DE-B成直二面角，连结A₁B、A₁C（如图1）．
（Ⅰ）求证：A₁D⊥平面BCED：
（Ⅱ）在线段BC上是否存在点P，使直线PA₁与平面A₁BD所成的角的正弦值为

3

2

？若存在，求出PB的长，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,平面与平面垂直的判定

专题：空间角

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出AD=1，AE=2，DE=

3

，从而得到AD⊥DE，拆叠后有A₁D⊥DE，由此能够证明A₁D⊥平面BCED．
（Ⅱ）假设在线段BC上存在点P，使直线PA₁与平面A₁BD所成的角的正弦值为

3

2

．作PH⊥BD于点H，连结A₁H，A₁P，由已知条件推导出∠PA₁H是直线PA₁与平面A₁BD所成的角，且∠PA₁H=60°，由此能推导出在线段BC上存在点P，使直线PA₁与平面A₁BD所成的角的正弦值为

3

2

，并能求出此时PB的长．

解答： （Ⅰ）证明：∵等边△ABC的边长为3，且

AD

DB

=

CE

EA

=

1

2

，
∴AD=1，AE=2，
在△ADE中，∠DAE=60°，
由余弦定理得DE=

12+22-2×1×2×cos60°

=

3

，
∵AD²+DE²=AE²，
∴AD⊥DE，
拆叠后有A₁D⊥DE，
∵二面角A₁-DE-B是直二面角，
∴平面A₁DE⊥平面BCED，
又∵平面A₁DE∩平面BCED=DE，A₁D?平面A₁DE，A₁D⊥DE，
∴A₁D⊥平面BCED．
（Ⅱ）解：假设在线段BC上存在点P，
使直线PA₁与平面A₁BD所成的角的正弦值为

3

2

，
如图，作PH⊥BD于点H，连结A₁H，A₁P，
由（Ⅰ）有A₁D⊥平面BCDE，
∵PH?平面BCED，∴A₁D⊥PH，
又∵A₁D∩BD=D，∴PH⊥平面A₁BD，
∴∠PA₁H是直线PA₁与平面A₁BD所成的角，
∵直线PA₁与平面A₁BD所成的角的正弦值为

3

2

，
∴∠PA₁H=60°，
设PB=x（0≤x≤3），则BH=

x

2

，PH=

3

2

x，
在Rt△PA₁H中，∠PA₁H=60°，∴A1H=

1

2

x，
在Rt△A₁DH中，A1D=1，DH=2-

1

2

x，
由A1D2+DH2=A1H2，
得12+(2-

1

2

x)2=(

1

2

x)2，解得x=

5

2

，满足0≤x≤3，符合题意，
∴在线段BC上存在点P，使直线PA₁与平面A₁BD所成的角的正弦值为

3

2

，
此时PB=

5

2

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查满足条件的点是否存在的判断，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．