Question

19．为美化环境，某市计划在以A、B两地为直径的半圆弧$\widehat{AB}$上选择一点C建造垃圾处理厂（如图所示）．已知A、B两地的距离为10km，垃圾场对某地的影响度与其到该地的距离关，对A、B两地的总影响度为对A地的影响度和对B地影响度的和．记C点到A地的距离为xkm，垃圾处理厂对A、B两地的总影响度为y．统计调查表明：垃圾处理厂对A地的影响度与其到A地距离的平方成反比，比例系数为$\frac{3}{2}$；对B地的影响度与其到B地的距离的平方成反比，比例系数为k．当垃圾处理厂建在弧$\widehat{AB}$的中点时，对A、B两地的总影响度为0.15．
（Ⅰ）将y表示成x的函数；
（Ⅱ）判断弧$\widehat{AB}$上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对A、B两地的总影响度最小？若存在，求出该点到A地的距离；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）$x=5\sqrt{2}$时，y=0.15，所以k=6，即可将y表示成x的函数；
（Ⅱ）利用导数，确定函数的单调性，即可得出结论．

解答 解：（I）由题意知AC⊥BC，BC²=100-x²，$y=\frac{3}{{2{x^2}}}+\frac{k}{{100-{x^2}}}（0＜x＜10）$，…（3分）
其中当$x=5\sqrt{2}$时，y=0.15，所以k=6，…（4分）
所以y表示成x的函数为$y=\frac{3}{{2{x^2}}}+\frac{6}{{100-{x^2}}}（0＜x＜10）$．…（5分）
（II）存在．由（I）知$y=\frac{3}{{2{x^2}}}+\frac{6}{{100-{x^2}}}$，
所以$y'=-\frac{3}{x^3}-\frac{6×（-2x）}{{{{（100-{x^2}）}^2}}}=\frac{{12{x^4}-3{{（100-{x^2}）}^2}}}{{{x^3}{{（100-{x^2}）}^2}}}$，…（7分）
令y'=0得12x⁴=3（100-x²）²，所以${x^2}=\frac{100}{3}$，即$x=\frac{{10\sqrt{3}}}{3}$（负值舍去），…（9分）
当$0＜x＜\frac{{10\sqrt{3}}}{3}$时，12x⁴＜3（100-x²）²，即y'＜0，所以函数为单调减函数，…（10分）
当$\frac{{10\sqrt{3}}}{3}＜x＜10$时，12x⁴＞3（100-x²）²，即y'＞0，所以函数为单调增函数．…（11分）
因此当$x=\frac{{10\sqrt{3}}}{3}$时，函数$y=\frac{3}{{2{x^2}}}+\frac{6}{{100-{x^2}}}（0＜x＜10）$有最小值．…（12分）
即当C点到A地的距离为$\frac{{10\sqrt{3}}}{3}$km时，垃圾处理厂对两地的总影响度最小．   …（13分）

点评 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．