Question

9．已知函数f（x）=x²+mx-2m-1仅存在整数零点，则实数m的集合为{0，-8}．

Answer 1

分析 若二次函数f（x）=x²+mx-2m-1仅存在整数零点，则x²+mx-2m-1=0仅有整数根，则x=$\frac{-m+\sqrt{{m}^{2}+8m+4}}{2}$是整数．进而由韦达定理可得m是整数，分析讨论后可得实数m的集合．

解答 解：若二次函数f（x）=x²+mx-2m-1仅存在整数零点，
则x²+mx-2m-1=0仅有整数根，
即x=$\frac{-m+\sqrt{{m}^{2}+8m+4}}{2}$是整数．
∴设m²+8m+4=k²，
则m=-4±$\sqrt{{k}^{2}+12}$，
∵x₁+x₂=-m，m是整数，故$\sqrt{{k}^{2}+12}$也是整数，
即k²+12是个完全平方数，设k²+12=n²，
则n²-k²=12，
∴（n-k）（n+k）=12，
又由（n-k），（n+k）的奇偶性相同，
故n-k，n+k的值只能为2，6，或-2，-6，
∵解得n=4，n=-4，
∴m=0或m=-8，
代入验证后，m=0或m=-8都符合题意．
故实数m的集合为{0，-8}，
故答案为{0，-8}．

点评 本题考查的知识点是二次函数的性质，方程的根，分类讨论思想，转化难度比较大，属于难题．