Question

15．如图，正方形ABCD的边长为$2\sqrt{2}$，E、F分别为AB、AD的中点，M、N是平面ABCD同一侧的两点，MA⊥平面ABCD，MA∥NC，$MA=NC=\sqrt{3}$．
（Ⅰ）设AC∩BD=O，P为NC上一点，若OP∥平面NEF，求NP：PC．
（Ⅱ）证明：平面MEF⊥平面NEF．

Answer 1

分析 （I）设AC∩EF=H，连接NH．由线面平行的性质得出OP∥NH，于是$\frac{NP}{PC}=\frac{OH}{OC}$，根据正方形的性质得出$\frac{OH}{OC}$的值；
（II）连接MH，MN，由勾股定理逆定理证明MH⊥NH，由三线合一证明MH⊥EF，故而得出MH⊥平面NEF，于是平面MEF⊥平面NEF．

解答 证明：（Ⅰ）设AC∩EF=H，连接NH．
∵OP∥平面NEF，OP?平面ACN，平面ACN∩平面NEF=NH，
∴OP∥NH，
∴NP：PC=HO：OC．
∵四边形ABCD是正方形，E，F分别为AB，AD中点，
∴HO：OC=1：2，即NP：PC=1：2．
（Ⅱ）连接MH，MN，
∵MA=NC，MA∥NC，
∴四边形ACNM是平行四边形，∴MN=AC=4．
∵MA=NC=$\sqrt{3}$，AH=$\frac{1}{4}AC$=1，CH=$\frac{3}{4}AC$=3，
∴MH=2，NH=2$\sqrt{3}$．
∴MN²=MH²+NH²，∴MH⊥NH，
又ME=MF，H是EF的中点，∴MH⊥EF，
∵EF?平面NEF，NH?平面NEF，EF∩NH=H，
∴MH⊥平面NEF，又MH?平面MEF
∴平面MEF⊥平面NEF．

点评 本题考查了线面平行的性质，面面垂直的判定，属于中档题．