Question

已知函数f（x）=2^x+

a

2|x|

（a＞0），且f（x）≥

3

2

对于x∈[-2，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：分类讨论，利用基本不等式及函数的单调性，求出函数的最小值，即可求得实数a的取值范围．

解答： 解：x＞0时，f（x）=2^x+

a

2x

≥2

a

，
∵f（x）≥

3

2

，
∴2

a

≥

3

2

，∴a≥

9

16

；
-2≤x≤0时，f（x）=（1+a）2^x，∴f（x）_min=

1+a

4

，
∵f（x）≥

3

2

，
∴

1+a

4

≥

3

2

，∴a≥5．
综上，a≥5．
故答案为：a≥5．

点评：本题考查函数恒成立问题，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．