Question

16．设[x]表示不超过x的最大整数（如$[2]=2，[{\frac{5}{4}}]=1$），对于函数f（x）=$\frac{{{{2015}^x}}}{{1+{{2015}^x}}}$，函数$g（x）=[{f（x）-\frac{1}{2}}]+[{f（-x）-\frac{1}{2}}]$的值域是（　　）

• A． {-1，0}
• B． {-1，1}
• C． {0，1}
• D． {-1，0，1}

Answer 1

分析 根据题意：[x]表示不超过x的最大整数，先求出f（x）的范围，再求f（x）-$\frac{1}{2}$的范围，根据[$f（x）-\frac{1}{2}$]，[$f（-x）-\frac{1}{2}$]的最大整数，即可得到g（x）的值域．

解答 解：函数f（x）=$\frac{{{{2015}^x}}}{{1+{{2015}^x}}}$=1-$\frac{1}{1+201{5}^{x}}$，∴0＜f（x）＜1
那么：$-\frac{1}{2}$＜f（x）-$\frac{1}{2}$＜$\frac{1}{2}$
则：那么：[$f（x）-\frac{1}{2}$]=[$\frac{{{{2015}^x}}}{{1+{{2015}^x}}}$-$\frac{1}{2}$]=0或-1．
f（-x）=$\frac{201{5}^{-x}}{1+201{5}^{-x}}$=$\frac{1}{201{5}^{x}+1}$=1-$\frac{1}{1+201{5}^{x}}$，∴0＜f（-x）＜1
那么：$-\frac{1}{2}$＜f（-x）-$\frac{1}{2}$＜$\frac{1}{2}$
[$f（-x）-\frac{1}{2}$]=[$\frac{1}{201{5}^{x}+1}-\frac{1}{2}$]=-1或0．
所以函数$g（x）=[{f（x）-\frac{1}{2}}]+[{f（-x）-\frac{1}{2}}]$的值域{-1，0}
故选A．

点评 本题考查了新定义的函数的应用问题，也考查了求函数在某一区间上的最值问题，要灵活运用基础知识求解．属于中档题．