Question

（本小题满分14分）如图，棱锥的底面是矩形，
面，为的中点.
（1）求证：面；                                                                        
（2）求二面角的余弦值；
（3）设为的中点，在棱上是否存在点，
使面？如果存在，请指出点的位置；
如果不存在，请说明理由.

Answer 1

(1)略
(2)
(3)在棱上存在点，使平面，且为棱的中点

证明：(1) 在中，，
为正方形，因此.               ……………2分
∵面，面，
．                                           ……………3分
又  
∴面．                                       ……………4分
解： (2) 建立如图所示的直角坐标系，则、、．………5分
在中，，，
∴，，，                                                               
∴，．……6分
设面的法向量，
则，
可以得到面的一个法向量．                 …………7分
又平面，
为面的一个法向量，                    …………8分
则，
二面角的余弦值为.                      …………10分
(3)为的中点，
的坐标为.
设棱上存在点使平面，            
则,                                       …………11分
由得面的一个法向量,
，                                   …………13分
在棱上存在点，使平面，且为棱的中点.……14分