Question

7．函数f（x）=|2x-1|，定义f₁（x）=x，f_n+1（x）=f（f_n（x）），已知函数g（x）=f_m（x）-x有8个零点，则m的值为（　　）

• A． 8
• B． 4
• C． 3
• D． 2

Answer 1

分析 由已知条件对x的取值范围分类，求出f_m（x），由此能求出使函数g（x）=f_m（x）-x有8个零点的实数m的值．

解答 解：（1）当x∈（-∞，$\frac{1}{2}$]时，f₂（x）=f（f₁（x））=|2x-1|=1-2x，
①当x∈（-∞，$\frac{1}{4}$]时，f₃（x）=|1-4x|=1-4x，
当x∈（-∞，$\frac{1}{8}$]时，f₄（x）=|1-8x|=1-8x，
此时，g（x）=f₄（x）-x=1-9x，有零点x₁=$\frac{1}{9}$．
当x∈（$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{4}$]时，f₄（x）=|1-8x|=8x-1，
此时，g（x）=f₄（x）-x=7x-1，有零点${x}_{2}=\frac{1}{7}$．
②当x∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]时，f₃（x）=|1-4x|=4x-1，
当x∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{8}$]时，f₄（x）=|8x-3|=3-8x，
此时，g（x）=f₄（x）-x=3-9x，有零点${x}_{3}=\frac{3}{9}$．
当x∈[$\frac{3}{8}$，$\frac{1}{2}$]时，f₄（x）=|8x-3|=8x-3，
此时，g（x）=f₄（x）-x=7x-3，有零点${x}_{4}=\frac{3}{7}$；
（2）当x∈（$\frac{1}{2}$，+∞）时，f₂（x）=|2x-1|=2x-1，
③当x∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$]时，f₃（x）=|4x-3|=3-4x，
当x∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{8}$]时，f₄（x）=|5-8x|=5-8x，
此时，g（x）=f₄（x）-x=5-9x，有零点x₅=$\frac{5}{9}$．
当x∈（$\frac{5}{8}$，$\frac{3}{4}$]时，f₄（x）=|5-8x|=8x-5，
此时，g（x）=f₄（x）-x=7x-5，有零点x₆=$\frac{5}{7}$．
④当x∈（$\frac{3}{4}$，+∞）时，f₃（x）=|4x-3|=4x-3，
当x∈（$\frac{3}{4}$，$\frac{7}{8}$]时，f₄（x）=|8x-7|=7-8x，
此时，g（x）=f₄（x）-x=7-9x，有零点x₇=$\frac{7}{9}$．
当x∈（$\frac{7}{8}$，+∞）时，f₄（x）=|8x-7|=8x-7，
此时，g（x）=f₄（x）-x=7x-7，有零点x₈=1．
综上所述，若函数g（x）=f_m（x）-x有8个零点．则m=4．
故选：B．

点评 本题考查满足条件的实数值的求法，考查分类讨论的数学思想方法，注意函数性质和分类讨论思想的合理运用，是中档题．