Question

15．设向量$\overrightarrow{a}$=（cosθ，sinθ），$\overrightarrow{b}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；
（1）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，且θ∈（0，π），求θ；
（2）若|3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$|，求|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|的值．

Answer 1

分析 （1），根据向量平行，得到sin（θ+$\frac{π}{3}$）=0，结合θ的范围，求出即可；（2）根据向量的运算得到$\sqrt{3}$sinθ-cosθ=0，求出|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|的值即可．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（cosθ，sinθ），$\overrightarrow{b}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，
∴-$\frac{1}{2}$sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ，
∴sin（θ+$\frac{π}{3}$）=0，θ∈（0，π），
∴θ=$\frac{2π}{3}$；
（2）若|3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$|，
则${（3cosθ-\frac{1}{2}）}^{2}$+${（3sinθ+\frac{\sqrt{3}}{2}）}^{2}$=${（cosθ+\frac{3}{2}）}^{2}$+${（sinθ-\frac{3\sqrt{3}}{2}）}^{2}$，
整理得：$\sqrt{3}$sinθ-cosθ=0，
|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{（cosθ-\frac{1}{2}）}^{2}{+（sinθ+\frac{\sqrt{3}}{2}）}^{2}}$=$\sqrt{2+\sqrt{3}sinθ-cosθ}$=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了向量的平行的性质，考查向量的运算，是一道中档题．