Question

已知A、B、C是椭圆W：＋y²＝1上的三个点，O是坐标原点．

(1)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；

(2)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．

Answer 1

解析：(1)椭圆W：＋y²＝1的右顶点B的坐标为(2,0)．因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分. 所以可设A(1，m)，代入椭圆方程得＋m²＝1，即m＝±，所以菱形OABC的面积是|OB|·|AC|＝×2×2|m|＝.

(2)假设四边形OABC为菱形．因为点B不是W的顶点，且直线AC不过原点，所以可设AC的方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠0).

由消去y并整理得(1＋4k²)x²＋8kmx＋4m²－4＝0.

设A(x₁，y₁)，C(x₂，y₂)，

则

所以AC的中点为

因为M为AC和OB的交点，且m≠0，k≠0，所以直线OB的斜率为－.

因为k·≠－1，所以AC与OB不垂直．

所以OABC不是菱形，与假设矛盾.

所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是.